Las paradojas de Zenón
Parménides,
el maestro de Elea, había desestimado lo revelado por los sentidos como
guía para conocer la verdad porque, aunque éstos inducen a conformar un
mundo en el que existe el movimiento y la pluralidad, todo debe
reducirse al Ser, que es uno, inmutable, único y eterno.
Zenón de Elea (siglo V antes de Cristo), discípulo de Parménides (hay quién cree que fue su hijo adoptivo, otros, incluso, su amante...) quiso demostrar por vía de las paradojas (o aporías) que no es posible realizar afirmaciones sobre el mundo sensible que sean consistentes (como su movimiento, su pluralidad, etc.) Zenón tratará, pues, de poner de manifiesto que la realidad aparente es internamente contradictoria, puesto que precisa tanto del ser como del no-ser para adquirir sentido, lo que conduce a un callejón sin salida cognoscitivo.
Es en esencia Zenón un defensor de las ideas de su maestro, el paladín de la unidad y la inmutabilidad del ser. Echando mano de la lógica, que posibilita la prueba de una hipótesis por "reducción al absurdo", «refuta a quienes afirman la multiplicidad», afirmando, por lo mismo, que «todo es uno».
Aunque parece ser que Zenón elaboró, para su defensa de la imposibilidad del cambio y movimiento, hasta casi medio centenar de aporías (esto es, una proposición sin salida lógica, que presenta dos afirmaciones igualmente plausibles, o dos razonamientos opuestos igual de consistentes), algunas de ellas son muy famosas, por la perplejidad que producen*. Los recogió Aristóteles, en su Física:
Zenón de Elea (siglo V antes de Cristo), discípulo de Parménides (hay quién cree que fue su hijo adoptivo, otros, incluso, su amante...) quiso demostrar por vía de las paradojas (o aporías) que no es posible realizar afirmaciones sobre el mundo sensible que sean consistentes (como su movimiento, su pluralidad, etc.) Zenón tratará, pues, de poner de manifiesto que la realidad aparente es internamente contradictoria, puesto que precisa tanto del ser como del no-ser para adquirir sentido, lo que conduce a un callejón sin salida cognoscitivo.
Es en esencia Zenón un defensor de las ideas de su maestro, el paladín de la unidad y la inmutabilidad del ser. Echando mano de la lógica, que posibilita la prueba de una hipótesis por "reducción al absurdo", «refuta a quienes afirman la multiplicidad», afirmando, por lo mismo, que «todo es uno».
Aunque parece ser que Zenón elaboró, para su defensa de la imposibilidad del cambio y movimiento, hasta casi medio centenar de aporías (esto es, una proposición sin salida lógica, que presenta dos afirmaciones igualmente plausibles, o dos razonamientos opuestos igual de consistentes), algunas de ellas son muy famosas, por la perplejidad que producen*. Los recogió Aristóteles, en su Física:
1) Argumento contra la pluralidad.
Zenón
afirma que ni el espacio ni los objetos que éste contiene pueden ser
divisibles o plurales. Si las cosas son divisibles, o bien están
formadas por elementos sin extensión, divisibles hasta el infinito (en
cuyo caso el objeto no tiene extensión, según el juicio del eleata), o
bien por elementos con extensión, en número finito (en cuyo caso el
objeto sería infinitamente grande; dado que sólo elementos finitos
pueden separar otros igualmente finitos, y éstos a partir de otros
también finitos, y así sucesivamente, esto conduce a un número infinito
de elementos finitos separados, lo cual implica un total de dimensiones
infinitas).
Este argumento, por lo tanto, nos permite comprender que si partimos de la posibilidad de la divisibilidad y pluralidad de la materia y el espacio, arribamos a una serie de conclusiones incongruentes, pues no pueden congeniar en un mismo mundo objetos infinitos con otros finitos, u objetos con tamaños infinitos y otros con ningún tamaño en absoluto. De ahí que Zenón concluya que ante esta situación contradictoria sólo quepa aceptar como real el mundo como unidad y entidad continua.
2) Parábola de Aquiles y la tortuga.
Sin duda, ésta es la paradoja más célebre de Zenón, y constituye el segundo punto del argumento del eléata contra el movimiento. En la imaginación de Zenón, Aquiles, el corredor griego más veloz, propone una competición entre él y una tortuga. Ufano y convencido de su triunfo, Aquiles permite que el animal tome una pequeña ventaja. Da inicio la carrera, y contra todo pronóstico, acontece algo extraño, según Zenón; cuando Aquiles alcanza el punto del que partía la tortuga, ésta se ha desplazado ya un ligero trecho. Por mucho que acelere Aquiles, al llegar a ese mismo lugar, la tortuga mantendrá aún cierta ventaja; aunque ésta vaya minvando a cada paso, aunque la separación tienda a cero, nunca será completamente cero, y por lo tanto, Aquiles nunca alcanzará la tortuga.
Este argumento, por lo tanto, nos permite comprender que si partimos de la posibilidad de la divisibilidad y pluralidad de la materia y el espacio, arribamos a una serie de conclusiones incongruentes, pues no pueden congeniar en un mismo mundo objetos infinitos con otros finitos, u objetos con tamaños infinitos y otros con ningún tamaño en absoluto. De ahí que Zenón concluya que ante esta situación contradictoria sólo quepa aceptar como real el mundo como unidad y entidad continua.
2) Parábola de Aquiles y la tortuga.
Sin duda, ésta es la paradoja más célebre de Zenón, y constituye el segundo punto del argumento del eléata contra el movimiento. En la imaginación de Zenón, Aquiles, el corredor griego más veloz, propone una competición entre él y una tortuga. Ufano y convencido de su triunfo, Aquiles permite que el animal tome una pequeña ventaja. Da inicio la carrera, y contra todo pronóstico, acontece algo extraño, según Zenón; cuando Aquiles alcanza el punto del que partía la tortuga, ésta se ha desplazado ya un ligero trecho. Por mucho que acelere Aquiles, al llegar a ese mismo lugar, la tortuga mantendrá aún cierta ventaja; aunque ésta vaya minvando a cada paso, aunque la separación tienda a cero, nunca será completamente cero, y por lo tanto, Aquiles nunca alcanzará la tortuga.
2B) La dicotomía.
Esta
interesante paradoja se relaciona a su vez con la anterior. Según ella,
Aquiles no sólo no atrapará jamás a la tortuga, sino que, de hecho, ¡ni
siquiera se mueve! Porque, para llegar incluso al primer punto del
recorrido, en el que se hallaba la tortuga al inicio de la carrera,
Aquiles debe antes haber alcanzado la mitad de ese trayecto, un punto
medio entre su posición anterior y la posterior. Pero, si desea hacerlo,
antes debe, a su vez, haber llegado a la mitad de esa mitad, hasta
lograr el punto medio dentro de aquel otro punto medio... y así
sucesivamente. Como puede intuirse, esta progresión continúa
indefinidamente hasta el infinito, con lo cual, según Zenón, Aquiles ni
siquiera llega a empezar la carrera, al no realizar movimiento alguno.
3) La flecha.
Cuando
lanzamos una flecha con un arco ésta se halla, aunque percibamos su
vuelo a través del aire, en reposo. Porque una flecha debe permanecer
siempre en un sitio, sea cual sea, y éste es siempre el mismo, dado que
posee el mismo tamaño que la flecha. El lugar concreto en el que se
halla la flecha está determinado por la flecha misma, dado que los otros
lugares donde ella no está sólo se diferencian de aquel en la ausencia
de dicha flecha. Ahora bien, si el lugar en el cual se halla la flecha
es tan grande como ella misma, si encaja perfectamente en ella,
la flecha no podrá moverse en él. Y si no se mueve en dicho espacio,
entonces está quieta, en reposo. Es decir, un cuerpo en reposo ocupa un
espacio que es "igual a sí mismo", algo que también sucede con un cuerpo
en movimiento (una flecha, en el ejemplo), porque para cada instante
llena un volumen de espacio idéntico a su propio tamaño; luego está en
reposo.
4) El estadio.
Imaginemos ahora un estadio en el que disponemos un grupo de cuatro soldados en fila, que permanecen en reposo (los denominaremos XXXX) justo en el centro del estadio. De uno de los lados parte otro grupo de cuatro (YYYY) en dirección al primero, y del lado opuesto otros cuatro (ZZZZ) en dirección contraria, dispuestos a encontrarse también con XXXX. Ambas filas se desplazan a idéntica velocidad. Su situación inicial y final es la siguiente:
Lo singular de esta paradoja es que, mientras el grupo de las Ys, en su trayecto hasta situarse justo bajo los Xs, ha recorrido en relación a éstas dos posiciones, el grupo de los Zs, en relación a los Ys, ha efectuado cuatro posiciones en el mismo tiempo, hasta quedar alineados todos los tres grupos. Esto nos indica, puesto que la longitud de los grupos es idéntica, que la velocidad del cuarteto de los Zs es el doble que la del cuarteto de los Ys. Pero si, al partir ambos grupos, la velocidad de Ys y Zs era la misma, ¿cómo es posible que no lo sea, al mismo tiempo?
4) El estadio.
Imaginemos ahora un estadio en el que disponemos un grupo de cuatro soldados en fila, que permanecen en reposo (los denominaremos XXXX) justo en el centro del estadio. De uno de los lados parte otro grupo de cuatro (YYYY) en dirección al primero, y del lado opuesto otros cuatro (ZZZZ) en dirección contraria, dispuestos a encontrarse también con XXXX. Ambas filas se desplazan a idéntica velocidad. Su situación inicial y final es la siguiente:
Lo singular de esta paradoja es que, mientras el grupo de las Ys, en su trayecto hasta situarse justo bajo los Xs, ha recorrido en relación a éstas dos posiciones, el grupo de los Zs, en relación a los Ys, ha efectuado cuatro posiciones en el mismo tiempo, hasta quedar alineados todos los tres grupos. Esto nos indica, puesto que la longitud de los grupos es idéntica, que la velocidad del cuarteto de los Zs es el doble que la del cuarteto de los Ys. Pero si, al partir ambos grupos, la velocidad de Ys y Zs era la misma, ¿cómo es posible que no lo sea, al mismo tiempo?
Hoy podemos hacer, naturalmente, algunas críticas a
las aporías de Zenón*, pero en su tiempo fueron verdaderamente
revolucionarias y causaron una enorme perplejidad entre los
intelectuales griegos. Por ejemplo, su primera paradoja pierde fuerza al
desconocer éste el concepto del vacío, concepto que sólo tomaría forma propia y desarrollada con los atomistas
(posteriores, pues, a Zenón), o, también, porque el eleata no conocía
que el valor de la suma de una serie de números infinitamente pequeños
no es infinito, sino finito. Por lo que respecta a la aporía de la
flecha, como señala Aristóteles en su Física, Zenón acepta la idea de
que el tiempo está compuesto de instantes. "Si esto no se admite", afirma el estagirita, "la conclusión no valdrá"
(A 28). Y en relación a la última de las aporías citadas, por fin, su
coherencia se basa en la suposición de que tanto el tiempo como el
espacio está constituido por elementos puntuales e indivisibles, como lo
son los números, opinión que sustentaban los pitagóricos.
En
todo caso, estas aporías tenían como misión básica, según ya se ha
dicho, demostrar que el movimiento es imposible, así como la pluralidad y
la divisibilidad en el mundo natural revelado por los sentidos.
Aquellos que afirmen lo contrario están condenados a la contradicción,
pues sus argumentos no son racionales, como corroboran las paradojas de
Zenón. Así, éste no realiza una comprobación de las tesis de su maestro
Parménides, sino que destaca, tan sólo (aunque ya es bastante...), la
condición contradictoria de las que éste niega como verdaderas,
arguyendo y razonando dónde se hallan sus errores y faltas.
Zenón no causó sólo perplejidad con sus aporías, sino también incomodidad, la intranquilidad de comprobar que, de estar en lo cierto, no existía ninguna posibilidad de investigar el mundo natural dentro del ámbito de la verdad, sino sólo en el de la opinión. Ante esta situación reaccionarían más tarde los pluralistas y atomistas, Empédocles, Anaxágoras y Demócrito.
*(En casi cualquier texto de filosofía que contenga el periodo presocrático se habla, con mayor o menor profundidad, de las paradojas de Zenón. Para un análisis más completo y exhaustivo del que hacemos aquí, puede servir el magnífico estudio de J. Barnes, en su obra "Los Presocráticos", pág. 312-350, Cátedra, Madrid, 2000).
Zenón no causó sólo perplejidad con sus aporías, sino también incomodidad, la intranquilidad de comprobar que, de estar en lo cierto, no existía ninguna posibilidad de investigar el mundo natural dentro del ámbito de la verdad, sino sólo en el de la opinión. Ante esta situación reaccionarían más tarde los pluralistas y atomistas, Empédocles, Anaxágoras y Demócrito.
*(En casi cualquier texto de filosofía que contenga el periodo presocrático se habla, con mayor o menor profundidad, de las paradojas de Zenón. Para un análisis más completo y exhaustivo del que hacemos aquí, puede servir el magnífico estudio de J. Barnes, en su obra "Los Presocráticos", pág. 312-350, Cátedra, Madrid, 2000).
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Serie "Presocráticos"
- Más sobre Aquiles y la tortuga
- Vídeo que pot ajudar en la comprensió de l' aporia i, de la necessitat del Càlcul Infinitesimal.
- Más sobre Aquiles y la tortuga
LA PARADOJA DE ZENÓN
(Aquiles y la tortuga)
Según la leyenda, Aquiles, héroe de la Guerra de Troya, era invulnerable, debido a que su madre, para hacerle invencible lo llevó a la laguna Estigia, morada de Medusa, y lo sumergió en sus aguas sujeto por el talón. Como su talón fue lo único que no se mojó, éste era su único punto débil... el Talón de Aquiles.
Famoso por sus grandes cualidades físicas, Aquiles fue elegido por Zenón de Elea (490 a.C. - 430 a.C.) como protagonista de la famosa Paradoja (cuyo enunciado hemos adaptado para facilitar la solución):
Aquiles, el atleta más veloz, capaz de correr los 100 m. en 10 segundos, no podrá alcanzar a una lenta tortuga, diez veces menos rápida que él. Ambos disputan una carrera, concediendo Aquiles una ventaja de 100 m. a la tortuga. Cuando Aquiles ha cubierto esos 100 m., la tortuga se ha desplazado 10 m. Al cubrir Aquiles esos 10 m., la tortuga se ha desplazado 1 m. Mientras cubre ese metro que le separa de la tortuga, ésta ha recorrido 0'1 m. Y así indefinidamente.
Así, Aquiles debe cubrir infinitos trayectos para alcanzar a la tortuga. Por lo tanto, Aquiles deberá cubrir una distancia infinita, para lo cual necesitará un tiempo infinito. De tal manera que el desgraciado Aquiles nunca alcanzará a la tortuga.
Es evidente que esta paradoja, bajo una apariencia de razonamiento correcto, esconde algún fallo... todos sabemos que Aquiles debe alcanzar a la tortuga. Pero se tardó 24 siglos en desvelar por completo, gracias a la Teoría de Límites, cuál era el fallo: la suposición de que infinitos trayectos deben sumar una distancia infinita y necesitan un tiempo infinito no es correcta.
Lo aclararemos estudiando como sucesiones las distancias recorridas, la ventaja de la tortuga y los tiempos empleados:
Posición de
Aquiles (m.)
|
Posición de
la tortuga (m.)
|
Ventaja
de la
tortuga
(m.)
|
Tiempo empleado
(seg.)
| |
Salida
1ª etapa
2ª etapa
3ª etapa
4ª etapa
...
Límites |
0
100
100 + 10 = 110
100 + 10 + 1 = 111
100 + 10 + 1 + 0,1 = 111,1
...
111,111...
|
100
100 + 10 = 110
100 + 10 + 1 = 111
100 + 10 + 1 + 0,1 = 111,1
100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 = 111,11
...
111,111...
|
100
10
1
0,1
0,01
...
0
|
0
10
10 + 1 = 11
10 + 1 + 0,1 = 11,1
10 + 1 + 0,1 + 0,01 = 11,11
...
11,111...
|
En consecuencia: Aquiles alcanza a la tortuga a los 111,111... m de carrera y emplea en ello 11,111... segundos (números decimales periódicos puros).
Otro ejemplo.- Si todavía te cuesta admitir que la suma de infinitos números puede ser un número finito, piensa en una hoja de papel (1). Le quitamos la mitad (1/2). A su vez, a la mitad restante le quitamos su mitad (1/4). Al trozo que queda (1/4), también le quitamos su mitad (1/8). Y así sucesivamente, de forma indefinida. Como siempre queda algo de papel, siempre se puede continuar cortando.
Piensa ahora en la suma de los infinitos trozos de papel que vamos quitando:
1 / 2 , 1 / 4 , 1/8 , 1/16 , 1/ 32 ...
¿Cuál es su suma?
¡Evidentemente toda la hoja; es decir 1!
1 / 2 + 1 / 4 +1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 ... = 1
A
mbos casos son ejemplos concretos de la Suma de todos los términos de una progresión geométrica con razón r ( | r | < 1).
mbos casos son ejemplos concretos de la Suma de todos los términos de una progresión geométrica con razón r ( | r | < 1).Dada una progresión geométrica: a , a·r , a·r2 , a·r3 , a·r4 ... a·rn
La suma de los (n + 1) primeros términos: S = a + a·r + a·r2 + a·r3 + a·r4 + ...+ a·rn
Se expresa mediante la fórmula:
Cuando | r | < 1 , la potencia rn+ 1 resulta ser un infinitésimo; es decir, para valores de n cada vez mayores, su límite es 0 .
lim rn+ 1=0 cuando n à 4
En consecuencia, se puede calcular la suma de los infinitos términos de la progresión:
S 4 = lim S = a / (1 – r) cuando n à 4
Ejemplos.-
En la paradoja de Zenón: a = 100 , r = 1/10
Aquiles alcanza a la tortuga después de recorrer: S 4 = 100 / (1 – 1/10) = 111,111... m
Al partir la hoja de papel: a = ½ , r = ½
Todos los trozos suman: S 4 = ½ / (1 – ½ ) = 1
Zenón de Elea
Brad Pitt fue Aquiles en la película Troya
José María Sorando Muzás
- Vídeo que pot ajudar en la comprensió de l' aporia i, de la necessitat del Càlcul Infinitesimal.
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